証明 ガンマ関数の定義より， \begin{aligned}\Gamma(x) \Gamma(y) &= \int_0^\infty s^{x-1}e^{-s}\,ds \int_0^\infty t^{y-1}e^{-t}\, dt \\ &=\int_0^\infty\int_0^\infty s^{x-1}t^{y-1}e^{-s-t}\,dsdt. \end{aligned} ここで， s=uv,\, t=u(1-v) と置換積分する。 \{(s,t)\mid s,t\in (0,\infty)\} = \{(uv, u(1-v))\mid u\in(0,\infty), v\in (0,1)\}， \begin{aligned} dsdt &= \left| \det\begin{pmatrix}\partial s/\partial u & \partial s/\partia
特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。 今回は、ガンマ関数とベータ関数を関係づける以下の式を証明します： ただし、 は積分変数を に変換すればすぐに示せるので、証明は省略。 【この記事の内容】 ガンマ関数とベータ関数の定義 証明 ガンマ関数の別表現 ベータ関数の別表現 ガンマ関数とベータ関数の関係式 【補足】 まとめ 【追記】 ガンマ関数とベータ関数の定義まずはガンマ関数とベータ関数の定義は以下で与えられます： 証明証明には上記のガンマ関数、ベータ関数の定義ではなく別の表現を使うので、まずはそれらを求めます。 それらが求めた後、それらを使って上記の関係式を示します： ガンマ関数の別表現 ベータ関数の別表現 ガンマ関数とベータ関数の関係式 ガンマ関数の別表現ガンマ関数の定義に現れる積分変数 を以下のように に変換しましょう： このとき 積分測度 積分区間 なので となります。 ベータ
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