Ъглополовяща

Ъглополовящата (наричана още бисектриса) в един триъгълник е лъч, който се спуска от някой от ъглите му, разделя го на две равни части и пресича лежащата срещу него страна. Ъглополовящата се бележи с латинската буква $l$ (ел).

• В равнобедрения триъгълник ъглополовящата, спусната от ъгъла срещу основата, съвпада и с височината, медианата и симетралата, пуснати към нея.
• В равностранния триъгълник ъглополовящите, спуснати от всеки от ъглите, са равни и съвпадат с пуснатите височини, медиани и симетрали.
• В ромба и квадрата ъглополовящи са диагоналите.
• Трите ъглополовящи в произволен триъгълник се пресичат в една точка, която е и център на вписаната окръжност в триъгълника.
• Всяка точка от ъглополовящата е на равни разстояния от бедрата.
• В триъгълник със страни a, b и c и ъглополовяща l_c е в сила формулата:

$l_{c}={\sqrt {ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}}$

Условие отсечка в триъгълник да е ъглополовяща (Теорема за ъглополовяща)

${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ или ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$.

Ъглополовящата на вътрешен ъгъл на триъгълника дели противоположната страна в отношение, равно на отношението на двете прилежащи страни: ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ или ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$.

Важи и обратното правило: Ако D е точка от страната BC на триъгълника ABC и $BD/DC=AB/AC$, то AD е ъглополовяща на ъгъл CAB.