מדרג BBGKY

בפיזיקה סטטיסטית, מדרג BBGKY (מדרג בוגוליובוב-בורן-גרין-קירקוווד-איבון, לעיתים נקראת מדרג בוגוליובוב) הוא סט משוואות, המתארות את הדינמיקה של מערכת בעלת מספר רב של חלקיקים הנמצאים באינטראקציה זה עם זה.

במסגרת מערכת משוואות זו, פונקציית ההתפלגות הפיזיקלית (פונקציית צפיפות הסתברות) של s חלקיקים כוללת בתוכה את פונקציית ההתפלגות של s+1 חלקיקים, כך שנוצרת שרשרת משוואות מצומדות.

מדרג BBGKY נקראת על שמם של ניקוליי בוגוליובוב, מקס בורן, הרברט ס. גרין, ג'ון גמבל קירקווד, וז'אק איבון.

הפיתוח המתמטי

ההתפתחות של מערכת בעלת N חלקיקים בהיעדר פלקטואציות קוונטיות נתונות על ידי משוואת ליוביל עבור פונקציית צפיפות ההסתברות $F_{N}=f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t)$ במרחב פאזה 6N-ממדי (3 קואורדינטות מרחביות ו-3 קואורדינטות תנע עבור כל חלקיק):

${\partial \!f_{N} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{N}{{\overrightarrow {p_{i}}} \over \!m}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}+\sum _{i=1}^{N}{\overrightarrow {F_{i}}}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}=0$

כאשר ${\overrightarrow {q_{i}}}$ הן הקואורדינטות ו-${\overrightarrow {p_{i}}}$ הם המומנטים של החלקיק ה-i בעל מסה m. סך הכוח הפועל על החלקיק ה-i הוא:

$F_{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}$,

כאשר $\Phi _{i}j({\overrightarrow {q}}_{i},{\overrightarrow {p}}_{i})$ היא האנרגיה הפוטנציאלית בין זוג חלקיקים, ו-$\Phi ^{ext}({\overrightarrow {q}}_{i})$ הוא פוטנציאל חיצוני.

על ידי אינטגרציה על חלק מהמשתנים, ניתן להפוך את משוואת ליוביל לשרשרת משוואות שהראשונה שבהן קושרת את ההתפתחות של פונקציית צפיפות ההסתברות של חלקיק בודד לפונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, המשוואה השנייה קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, עם זו של שלושה חלקיקים וכן הלאה.

באופן כללי, המשוואה ה-s קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים -$f_{s}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{s},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{s},t)=\int f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t)\,d{\overrightarrow {q}}_{s+1}...d{\overrightarrow {q}}_{N}d\,{\overrightarrow {p}}_{s+1}...d{\overrightarrow {p}}_{N}$

לבין פונקציית צפיפות ההסתברות של (s+1) חלקיקים.

הקשר בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים לזו של (s+1) חלקיקים נתון ע"י:

${\partial \!f_{s} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{s}{{\overrightarrow {p}}_{i} \over \!m}{\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}-\sum _{i=1}^{s}(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}){\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {{\partial \!\Phi _{i\ s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}{\partial \!f_{s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}d{\overrightarrow {q}}_{s+1}d{\overrightarrow {p}}_{s+1}}$.

קשר זה עבור פונקציית צפיפות הסתברות של s חלקיקים מתקבל על ידי ביצוע אינטגרציה על משוואת ליוביל על-פי המשתנים ${\overrightarrow {q}}_{s+1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{s+1}...{\overrightarrow {p}}_{N}$.

הבעיותיות במשוואה המתארת את הקשר בין פונקציות צפיפות ההסתברות $f_{s}$ ו-$f_{s+1}$, היא שהמשוואה איננה סגורה - כדי לפתור את $f_{s}$ יש לדעת קודם מה היא $f_{s+1}$, שבתורה דורשת לדעת מה היא $f_{s+2}$, וכן הלאה עד שמקבלים שוב את משוואת ליוביל השלמה.

עם זאת, אם ישנה אפשרות למדל את $f_{s+1}$, יהיה ניתן לפתור את $f_{s}$. דוגמה למקרה כזה היא משוואת בולצמן עבור הפונקציה $f_{1}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{1},t)$, שבמסגרתה נעשה מידול ל-$f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {q}}_{2},{\overrightarrow {p}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t)$ בהתבסס על הנחת הכאוס המולקולרי. למעשה, במשוואת בולצמן $f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t)$ התהליך המוגבל של קבלת משוואת בולצמן מתוך משוואות ליוביל מוכר כגבול בולצמן-גראד.

שימושים ופירושים פיזיקליים

סכמטית, משוואת ליוביל נותנת לנו את ההתפתחות בזמן של מערכת שלמה בעלת N חלקיקים החל מ-$Df_{n}=0$ - ביטוי לזרם הבלתי-דחיס של צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה. לאחר מכן, ניתן להגדיר באופן הדרגתי את פונקציות ההתפלגות המופחתות על ידי ביצוע אינטגרציה על דרגת חופש נוספת של החלקיק $f_{s}\thicksim \int f_{s+1}$.

משוואה במדרג BBGKY מספרת לנו שההתפתחות בזמן של $f_{s}$ ניתנת כתוצאה ממשוואת ליוביל, אבל עם תיקון המייצג את השפעת הכוח של N-s החלקיקים העצורים:

$Df_{s}\varpropto div_{p}{\langle \!grad_{q}\Phi _{i\ s+1}\rangle }_{f_{s+1}}$.

הבעיה העיקרית עם פתרון מדרג BBGKY עבור מקרים שונים, היא שהמדרג קשה לפתירה כמעט כמו פתרון משוואת ליוביל המקורית. עם זאת, ניתן בצע קירובים למדרג BBGKY בקלות, וקירובים אלו מאפשרים קיטוע של שרשרת המשוואות, כך שמתקבלת מערכת משוואות סופית. הערך של קירובים אלו הוא שמשוואות התפלגות מסדרים גבוהים יותר - $f_{s+2},f_{s+3},...$ ישפיעו על ההתפתחות בזמן של $f_{s}$ באופן מרומז בלבד, על ידי $f_{s+1}$.

קיטוע של שרשרת BBGKY הוא נקודת התחלה שכיחה ליישומים רבים של תאוריה קינטית שניתן להשתמש בהם על מנת לגזור את משוואות הקינמטיקה הקלאסיות או הקוונטיות. בפרט, באמצעות קיטוע ההירכייה במשוואה הראשונה, או בשתי המשוואות הראשונות ניתן לגזור את משוואות בולצמן הקלאסיות או הקוונטיות.

קירובים נוספים, כמו ההנחה שפונקציית צפיפות ההסתברות תלויה רק במרחק היחסי בין החלקיקים, או ההנחה של שליטת ההידרודינמיקה, יכולים גם כן להפוך את שרשרת BBGKY לנגישה לפתרון.

ביבליוגרפיה

פונקציות התפלגות של s חלקיקים הוצגו לראשונה במכניקה סטטיסטית קלאסית על ידי ז'אק איבון בשנת 1935. מדרג BBGKY של משוואות התפלגות נכתבה ויושמה עבור גזירת משוואות קינטיות על ידי בוגוליובוב, התקבלה בשנת 1945 ופורסמה בשנת 1946 ברוסית ובאנגלית. תיאורית הטרנספורטציה הקינטית הוצגה על ידי קירקווד במאמר שהתקבל באוקטובר 1946, ופורסם במרץ 1946. כמו כן, פורסמו מאמרים עוקבים בנושא זה. המאמר הראשון שפרסמו בורן וגרין עסק בתיאוריות קינטיות כלליות של נוזלים, פורסם בדצמבר 1946.

ראו גם

• משוואת פוקר פלאנק
• משוואת ולסוב