Ни о какой безапелляционности в моих высказываниях не может быть и речи!

Джоэл Дэвид Хэмкинс запостил в твиттере список вопросов конечного экзамена по своему курсу философии математики и науки в Оксфорде. Список мне понравился (студентам надо было ответить на 5 вопросов из 8):

1. В общих чертах: в чём состоит метод «доказательств и опровержений», описанный Имре Лакатосом?
2. Опишите два конкретных утверждения, сделанных Г. Х. Харди в книге «Апология математика», с которыми можно обоснованно не согласиться, и приведите либо критику их, либо защиту.
3. Подвергните критике или защитите тезис: в «Плаче математика» Пол Локхарт выдвигает главным образом эмоциональные или преувеличенные претензии к практике преподавания математики, не предлагая при этом ясной альтернативы.
4. Подвергните критике или защитите тезис: Кун и Фейерабенд в целом согласны в том, что основные продвижения научного знания происходят в бурные периоды научных революций.
5. Подвергните критике или защитите тезис: в «Характере физических законов» Фейнман излагает единую философию науки.
6. Точно объясните, что значит утверждение, что проблема остановки (halting problem) вычислимо неразрешима, и набросайте доказательство этого утверждения.
7. Подробно опишите, в чём состоит проблема P против NP, и обсудите её значимость.
8. Почему, по мнению Скотта Ааронсона, вычислительная сложность важна для философии?

Неплохо бы перечитать Лакатоса, которого я совсем забыл, и прочитать Фейерабенда. А так наверное смог бы чего-то написать по этим вопросам (хоть и вспоминается сцена из Довлатова про тему лишнего человека у Пушкина, конечно).

Умер философ Джон Серль (Серл, Сёрл, пишут по-разному). Главное, чем он был знаменит, это философский мысленный эксперимент "Китайская комната". Представьте себе, что вы смогли сделать компьютерную программу, которая умеет по-настоящему, как человек, общаться на китайском языке. Серль говорит: представим себе, что все инструкции программы записаны на миллионах маленьких листков бумаги, разложенных на сотнях полок в большой комнате, а внутри комнаты сидите вы. В окошко вползает новая фраза по-китайски, на которую надо ответить. Листочки дают вам указания, что делать с ее символами: может, записать каких-то других листочках, сравнить с чем-то, если такой-то символ, то сделать то-то, и так далее и так далее и так миллион раз. В итоге вы, механически следуя указаниям на листочках, и не зная ни китайских иероглифов, ни самого языка, записываете на последнем листочке ответ по-китайски и выталкиваете его наружу. Это "китайская комната". Очевидно, что сами механические действия не помогли вам выучить китайский язык и понять фразу на нем, вы как не понимали его, так и не понимаете. Следовательно, говорит Серль, настоящий компьютер, который делает то же самое, даже если он выдаст фразу на китайском, все равно не понимает китайский язык, потому что компьютер это просто вид китайской комнаты.

"Китайская комната" - довольно интересный пример аргумента, который в довольно широких кругах ценится за то, что считается неверным. Большая часть философов и исследователей искусственного интеллекта, которых я уважаю, относятся к "китайской комнате" как к почти очевидному софизму, путанице в терминах, которая не доказывает ничего про гипотетические ограничения искусственного интеллекта (как считал Серль), но полезна тем, что предельно ясно формулирует определенную "ловушку" в мышлении. То и дело про какой-то другой аргумент читаешь "на самом деле это всего лишь вид аргумента китайской комнаты, и вот почему". Я тоже так считал, и тем не менее из уважения к покойному решил пойти и прочитать статью в Стэнфордской философской энциклопедии про китайскую комнату: https://plato.stanford.edu/entries/chinese-room/

Эта статья очень хорошо написана, и я рад, что ее прочитал, и советую всем, кто хочет приобрести несколько менее поверхностные знания о "китайской комнате". В частности, меня обрадовал тот факт, что очевидное с моей точки зрения возражение Серлю (так называемый "системный ответ": что понимание китайского существует и спрятано в сложности всей системы, объединяющей листки и выполняющего программу агента, и что это не более удивительно, чем то, что обычное понимание китайского спрятано в сложности всей системы нейронов мозга) было очевидно не только мне, но и самому Серлю, и что у него был какой-никакой ответ на него, еще даже в первоначальной статье 1980 года. Этот ответ - что человек может гипотетически запомнить всю программу, выйти из комнаты на улицу (не выходи из комнаты -- не совершай ошибку--), неся ее в голове, и все равно у него не будет никакого понимания - не то чтобы меня переубеждает, но заставил подумать. В статье в энциклопедии это описано подробно и исключительно ясно, если вам это интересно, еще раз повторю рекомендацию прочитать. В целом у меня сохранилось отношение к К.К. как к примеру определенного вида софизма, но с более трезвой оценкой того, что если присмотреться внимательнее, то там "все сложно" (как обычно бывает в философии сознания/мышления) и есть небезынтересные аргументы с обеих сторон.

Другая важная сторона вопроса о китайской комнате - это почему это вообще важно. Предположим, у компьютера, общающегося с вами по-китайски, нет "понимания" китайского языка; почему это вас должно беспокоить, если он нормально общается? Почему это вообще не бессмысленный вопрос? Он был таковым, по-видимому, для Тьюринга - ведь знаменитый тест Тьюринга для проверки искусственного интеллекта как раз основан на том, что мы сравниваем ответы компьютера и человека, общаясь с обоими как с "черными ящиками" - как с агентом внутри китайской комнаты, посредством листков через окошки - специально отказываясь строить теории о том, что там у них внутри, "понимание" или нет. Для Серля его аргумент был следующим шагом после теста Тьюринга, шагом, демонстрирующим недостаточность теста Тьюринга. Компьютер, с точки зрения Серля, может только манипулировать символами, а у человека есть "семантика", настоящее понимание, и китайская комната демонстрирует эту разницу так, что это очевидно нашей интуиции. Но эта разница, для Серля, не заключалась только в схоластическом заявлении "нет настоящего понимания!", у нее есть реальные последствия. То, что человек внутри китайской комнаты не понимает китайский, имеет последствия в реальном мире. Он может, с помощью листков, ответить на любые вопросы по-китайски, но если показать ему гамбургер и спросить, как это будет по-китайски, он не сможет ответить (а человек с "пониманием" китайского сможет!). В этом для Серля была существенная разница. Настоящая семантика рано или поздно сыграет свою роль, она неизбежным образом богаче и вернее, чем чистый синтаксис, чем чистая - пустая - манипуляция символами.

Серль дожил до компьютеров, умеющих без проблем отвечать на китайском (или любом другом языке), но я не знаю, писал ли он под конец жизни что-то об LLMах и их связи с китайской комнатой. Можно представить себе Серля (допустим для простоты, что он знает китайский язык), общающегося с ChatGPT на китайском, но потом заявляющего, что он все равно не знает, как будет "гамбургер" по-китайски - ведь он понимает только текст, символы, если ему написать "гамбургер" на другом языке, то это слишком сильная подсказка. Но потом OpenAI выпускает новую версию ChatGPT, которая умеет понимать картинки, и если показать камере лаптопа гамбургер, то ChatGPT легко напишет - на китайском, если угодно, - что это такое. Как это случилось, ведь настоящая семантика и все такое? "Настоящая семантика", которая у человека возникает в голове при виде зрительного образа гамбургера, перешла в символы - набор пикселей компьютерной картинки, нейронную сетку, переводящую картинки в слова, а слова ChatGPT знает и умеет отвечать. Серль может отступить на этом фронте и сказать "все равно нет понимания, машина не может осязать гамбургер или ощущать его вкус". Но добавляя в будущем новые сенсоры, мы научим нейронные сети вести себя так, будто они все это понимают, и это возвращает нас к вопросу о том, где тут фундаментальная разница с тем, как мозг обрабатывает зрительные, осязательные итд. символы, и не является ли эта "настоящая семантика" фантомом, самообманом?

Прокл, греческий философ 5 века нашей эры (один из последних философов античности), написал комментарии к первой книге "Начал" Евклида. В них, в частности, разбил треугольники на семь классов, и уподобил их душам и материальным существам.

Цитата по полному русскому переводу этой книги Прокла, который вышел в 2013 году (переводчик Андрей Щетников).

Вот это чисто про меня коан. (Не знаю, какой к предыдущему предложению смайлик прицепить, радостный или грустный, поэтому обойдусь без)
==========
One afternoon a student said "Roshi, I don't really understand what's going on. I mean, we sit in zazen and we gassho to each other and everything, and Felicia got enlightened when the bottom fell out of her water-bucket, and Todd got enlightened when you popped him one with your staff, and people work on koans and get enlightened, but I've been doing this for two years now, and the koans don't make any sense, and I don't feel enlightened at all! Can you just tell me what's going on?"

"Well you see," Roshi replied, "for most people, and especially for most educated people like you and I, what we perceive and experience is heavily mediated, through language and concepts that are deeply ingrained in our ways of thinking and feeling. Our objective here is to induce in ourselves and in each other a psychological state that involves the unmediated experience of the world, because we believe that that state has certain desirable properties. It's impossible in general to reach that state through any particular form or method, since forms and methods are themselves examples of the mediators that we are trying to avoid. So we employ a variety of ad hoc means, some linguistic like koans and some non-linguistic like zazen, in hopes that for any given student one or more of our methods will, in whatever way, engender the condition of non-mediated experience that is our goal. And since even thinking in terms of mediators and goals tends to reinforce our undesirable dependency on concepts, we actively discourage exactly this kind of analytical discourse."

And the student was enlightened.

Ждем мы сегодня, пока вызовут к врачу. А наша очередь к этому врачу была на 9:30 утра, и явно мы первые (потому что номерочек секретарша выдала номер 1). Нас должны вызвать по номеру, но вот уже 9:45, а не вызывают. Мы на третьем этаже здания внутри больницы, и оно так устроено, что через высокое внутреннее видно первый этаж, и там кафетерий.

Р. говорит: мне туда очень хочется. Я засыпаю, а там есть горячий чай. Очень хочется горячего чаю.

Я говорю: но если ты или я сбегаем туда, по закону подлости нас как раз вызовут. Давай подождем еще минут пять, если не вызовут, я сбегаю за чаем.

Р говорит: но если еще 5 минут не вызовут, тогда вероятность того, что вызов попадет на твой визит вниз, только увеличится! Поэтому лучше рискнуть сейчас, а не через 5 минут.

Я возражаю: мне кажется, эта вероятность наоборот может уменьшиться. Сейчас врач "опаздывает" с вызовом нас на 15 минут. Скорее всего, у него утром были какие-то административные дела, которые затянулись, или заболтался с кем-то. Еще через 5 минут задержка уже будет больше, и становится более вероятным, что есть какая-то серьезная проблема - может, врач вообще сегодня не придет из-за какого-то форсмажора, или он застрял в пробке надолго. В этих случаях мы сбегаем вниз без проблем, и поэтому вероятность безпроблемного рывка за чаем в целом увеличивается.

Р: что-то ты не то говоришь. Давай предположим для простоты, что врач точно в какой-то момент нас позовет. Это время уже определено, просто мы его не знаем (предполагаем, что наш рывок за чаем никак не повлияет на то, когда вызывает нас врач - теоретически может как-то повлиять, но в слишком безумных сценариях, которые отвергаем). Раз это время уже определено, то подождав пять минут и не попав в него, мы сужаем интервал, в котором оно может находиться, и увеличиваем вероятность того, что во время рывка после этого мы на него наткнемся. Вот и все.

А: Даже с этим предположением я не согласен. Предположим, время вызова определено. Но вероятность того, что рывок за чаем с ним пересечется - это оценка по всем возможным сценариям (если хочешь, мирам), в каждом из которых есть своя причина задержки врача, ее величина и ее априорная вероятность. Сравнивая мир, где мы уже прождали 15 минут и мир, где мы уже прождали 20 минут, мы видим разный набор миров-продолжений, и во втором случае удельный вес миров с длинной задержкой больше, поэтому вероятность, что мы в одном из них, больше, и мне кажется, что этот фактор может оказаться важнее, чем отсечение этих дополнительных 5 минут ожидания.

Кто из нас прав?

P.S. В итоге мы подождали еще минуты три, подошли к лифту на первый этаж, чтобы послать меня за чаем, и тут нас позвали.

Две истории о французском философе Жаке Деррида, недавно увиденные в соц. сетях. Понравились и вполне могу поверить, но не знаю, насколько достоверно.

1. Однажды Деррида вышел читать доклад по-английски и начал говорить о "кау" (корова). Это корова, то корова, философский смысл коровы. Слушатели удивились, смутились, но прилежно записывали за мэтром всё про коров. Потом был перерыв, а после перерыва Деррида вернулся и говорит: "Мне сообщили, что это слово произносится "кэос" (хаос)..."

2. Однажды к Жаку Деррида подошли двое студентов и, смущаясь и запинаясь, спросили (опять-таки по-английски), что он думает о кинематографе (cinema). Он возбудился и стал объяснять, что его невозможно избежать, он просто везде, "в хлебе, в кофе!". Оказалось, что он услышал вопрос о корице (cinnamon).

Наткнулся пару дней назад на интересную страницу на математическом stackexchange:

Computability viewpoint of Godel/Rosser's incompleteness theorem

Хорошо известно, что можно доказать теорему о неполноте Гёделя с помощью неразрешимости проблемы остановки, доказанной Тьюрингом (исторически это было в обратном порядке: теорема о неполноте в 1931-м, неразрешимость проблемы остановки в 1940-х).

(напомню, что теорема о неполноте Гёделя говорит о границах наших возможностей строго доказывать математические истины: любая достаточно мощная (и подвергающаяся автоматической проверке) формальная система аксиом арифметики неизбежно неполна, т.е. существует утверждение, которое она не доказывает и не опровергает. Проблема остановки состоит в том, чтобы для любой программы и входных данных определить за конечное время, остановится ли эта программа, если дать ей эти входные данные; эта проблему решить невозможно, что доказывается красивым автореферентным аргументом)

Классическое доказательства Геделя накладывало дополнительное требование на формальную систему (так называемая омега-непротиворечивость); несколько лет спустя Россер нашел трюк, который позволил убрать его, и от системы кроме описанных выше условий требовалось только непротиворечивость. Я не знал, что есть естественный способ перевести трюк Россера на язык вычислимости. Стандартное доказательство Геделя использует предикат доказуемости, а его вычислительная версия использует проблему остановки. Доказательство Россера немного изменяет предикат доказуемости, а его вычислительная версия использует проблему угадывания, в которой требуется, при наличии программы P и входных данных X, угадать, какой ответ выводит P на X, если останавливается, но зато если не останавливается, можно ответить что угодно. Проблема угадывания тоже неразрешима. Это все подробно объясняется по ссылке выше.

Автор страницы полагает (вслед, например, за Скоттом Ааронсоном), что доказательство через вычислимость и проблему остановки является в некотором смысле наиболее естественным док-вом теоремы Геделя, потому что автореферентность, на которой основаны ее доказательства, наиболее естественным образом проявляется в вычислимости. Для того, чтобы доказать свою теорему, Геделю пришлось придумать, как логические утверждения о числах могут говорить "о самих себе", и это было и остается крайне неинтуитивной (и технически нелегкой) частью доказательства. Но когда речь идет о машинах Тьюринга (компьютерах), то факт, что компьютерная программа может в качестве входных данных получить собственный исходный код, и в частности симулировать работу самой себя, не удивляет никакого программиста, знающего, что такое интерпретатор, например.

Не уверен, что я вполне с этим согласен. Попробую немного развернуть эту мысль. В традиционном доказательств теоремы Геделя у нас есть формальная система, которая умеет доказывать утверждения о натуральных числах. Мы вводим "арифметизацию синтаксиса": кодирование числами переменных, логических символов, формул и наконец доказательств - и в результате этого технического процесса мы научили нашу формальную систему доказывать в некотором смысле "утверждения об утверждениях", и отсюда прямая дорога к автоферерентности.

Что происходит в доказательстве через вычислимость? Мы переходим из области логических утверждений в область алгоритмов. Вместо того, чтобы научить утверждения "говорить" об утверждениях, и найти автореферентное противоречие в виде логического утверждения (говорящего о себе), мы идем в обход:

1. учим утверждения говорить об алгоритмах (это та часть, что по ссылке называется "can reason about programs")
2. учим алгоритмы говорить об алгоритмах (это универсальная машина Тьюринга, например)
3. учим алгоритмы говорить об утверждениях (это та часть доказательства, где мы строим программу, перебирающую все возможные формальные доказательства).

Вместо одного обучения у нас три! Почему же это кажется более легким и естественным? Потому что 2 и 3 интуитивно верны для людей, знакомых с алгоритмами и интерпретаторами, и хотя формально говоря они требуют технических решений - как именно кодировать программу в виде последовательности символов? как именно кодировать утверждение в виде последовательности символов? - это ощущается (возможно, что справедливо) как мелкие и не очень важные подробности. А главная часть доказательства - автореферентное утверждение - полностью относится к алгоритмам, и там оно выглядит проще и понятнее, чем в применении к утверждениям (диагональная лемма Геделя итп.).

С другой стороны, все же надо отметить, что остается первое обучение - формальную систему надо научить доказывать и опровергать утверждения типа "вот вычисление, показывающее, что данный алгоритм останавливается при таких-то входных данных и дает такой-то результат". По ссылке выше это спрятано под невинно выглядящее название "can reason about programs", но по сути для любой конкретной формальной системы это не тяжелее и не проще, полагаю, чем научить ее арифметизации синтаксиса в первоначальной версии доказательства Геделя. По сути это одно и то же, только вместо "доказательства" мы рассматриваем "вычисление" итд. Так действительно ли это проще, доказывать через алгоритмы? Наверное, нет, если настаивать на полном строгом доказательстве, то то же самое или даже больше работы. Действительно ли это естественнее? Возможно, да - главный аргумент изолирован в области алгоритмов, где он кажется особенно простым и естественным. Но я не знаю, насколько верно, и даже осмысленно, говорить о том, что там его "настоящее место".

Из лекции Мамардашвили о Прусте (1984), довольно странная сентенция, которая привязалась ко мне --

"Самая ничтожная женщина лучше самого умного и гениального собеседника, потому что с гениальным собеседником я имею дело как салонный говорун, а с ничтожной женщиной я рискую, там вовлечены желания, и только через них, только через желание и боль, я могу узнать и мир, и других, и себя."

Неожиданная перекличка с концепцией "skin in the game" (что имеет смысл слушать только те мнения, авторы которых "участвуют в игре", рискуют чем-то, а иначе это всегда глупая болтовня), которую распиаривает настойчиво в последнее время Нассим Талеб - его последняя книга так и называется "Skin in the Game", русский перевод "Рискуя собственной шкурой".

Я перестал воспринимать Талеба всерьез, на мой взгляд, в последние годы он превратился в самопародийного клоуна - но сама идея вовлеченности, риска как гаранта серьезного отношения - она шире Талеба, конечно, и полезна, но все-таки наверное не всегда. Цитата из Мамардашвили не проходит моей внутренней проверки на вшивость, такое отношение чуждо мне. Я могу только смотреть на него со стороны, как марсианский антрополог на землян, и изучать с интересом.

P.S. Современный политический контекст сразу навязывает, начиная со слов "самая ничтожная женщина", и потом их противопоставления "гениальному собеседнику", мысли о женоненавистничестве, феминизме итд. И мне при первом прочтении эта цитата показалась совсем уродливой в первую очередь по этой причине. Но, поразмыслив и почитав глубже эту лекцию, я прихожу к выводу, что наверное зря -- Мамардашвили, наверное, с таким же энтузиазмом поддержал бы фразу, в которой пол всех участников изменен на противоположный; ему важно объяснить и подчеркнуть мысль Пруста (как он ее пересказывает), что любовные свидания заведомо лучше любых интеллектуальных разговоров:

"с точки зрения Пруста, свидание не было бы потерянным временем, – потерянным временем была бы умная беседа по одной простой причине: там, где мы не рискуем, где мы не поставлены на карту в своих переживаниях, в своих восприятиях и в своей судьбе, – там потерянное время (в том числе таковыми являются интеллектуальные беседы). Пруст в свое время говорил (он был большой противник снобизма, который состоит во встречах или в окружении себя умными и содержательными людьми): беседовать с умными людьми – это то же самое, что прийти в гости и, вместо ожидаемого приключения, оказаться в светском салоне, где тебе сунули в руки альбом с семейными фотографиями и ты должен с видимым интересом на лице их разглядывать, или, скажем, что с вами, наверное, часто случалось, разглядывать диапозитивы в темной комнате."

В конце 90-х и начале 2000-х я потратил довольно много времени на изучение философии постмодернизма: прочитал много книг видных философов и мыслителей в этой традиции, взял два курса вольным слушателем в аспирантуре Иерусалимского университета, читал критику и критику критики, много думал. Недавно я обнаружил, что два раза описывал этот опыт изучения в своем журнале, не заметив этого: один раз в 2009-м году по-английски (я тогда написал об этом на другом форуме и скопировал в журнал), другой раз в 2011-м по-русски.

Не помня в 2011-м о предыдущем описании два года назад, я написал, на другом языке, практически то же самое. Видимо, твердо улеглось в памяти и самосознании.

Практически то же самоое - но вот в чем оказалась разница. В 2009-м году я написал: "Хоть я и не помню большинство этого материала уже, я не думаю, что это была пустая трата времени".

А в 2011-м году написал: "Потому что сейчас мне жалко этого затраченного времени". Забавно получилось.

И что, я действительно думал в 2009-м году, что не зря потратил много времени на чтение Бодрийара и Делеза? И что, я действительно думал в 2011-м году, что зря потратил это время? И что я думаю сейчас, зря или не зря?

А фиг его знает. Я ведь не написал сейчас третью версию этого же текста и не указал в ней, что сейчас думаю - откуда же мне тогда знать.

Зря-не зря, жалко-не жалко. Все слова. Не очень интересные теперь, мне кажется, слова. Жалко? Не жалко?

Жалко у пчелки.

Замечательное интервью с Мишей Громовым (это гениальный математик такой, 43 года рождения, на Западе с 70-х, живет и работает во Франции, пользуется именем "Миша" как полным):

Миша Громов, Интервью журналу Rigas Laiks

Прочитайте, если вас интересуют математика, ее связь с миром, бесцеремонные и одновременно интересные суждения о других науках и предметах. Вот несколько цитат, но рекомендую все интервью.

О том, можно ли объяснить математику:

"Математику нельзя словами описать... Не знаю, есть ли способ вникнуть в Бога, но в математике такой способ есть, на это можно потратить жизнь, тогда вы это узнаете. Всякая попытка изложить математику популярно и просто, не вникая в ее суть, обречена на провал. Почти все книжки про математику (это относится и к теоретической физике) - это обман, они не имеют почти никакого отношения к предмету. [...]

Так же вы не сможете нарастить мускулы, глядя на гантели, если вам объяснять, что такое гантели. Сколько угодно можно смотреть - мускулы не вырастут. Математика очень трудна; чтобы ее понять, нужны очень большие усилия.

(То есть объяснения тут невозможны?)

Возможны, но надо иметь в виду, что если вы понимаете - значит, ничего не понимаете. Вы начинаете с полного непонимания и в ходе тяжелого, болезненного процесса начинаете понимать. Математика и теоретическая физика - предметы необъяснимые. Как нельзя объяснить, как надо ездить на велосипеде. Сколько ни говорите, ездить не будете, через это надо пройти. Чем больше вы пройдете, чем лучше вы будете, тем больше вы поймете. Не то что поймете сразу все; в математике большинство не понимает, что такое математика. Но по крайней мере есть шанс. Иначе это просто слова. То, что творчески придумывается людьми, всегда связано с невероятным усилием. На эту тему я недавно прочел интересный анализ: почему в Германии не смогли сделать атомную бомбу. Там были первоклассные ученые, но у них не было энтузиазма, они не работали на гипероборотах, как в Америке или в России. На гипероборотах - это не просто усилия, а суперусилия, тогда делаются новые вещи. Это огромный груз, невероятно трудный.

Опять же, мой опыт: когда я слушаю час лекции на мою тему и стараюсь понимать, то невероятно устаю. Когда я слушаю лекцию по философии, по истории или нетехническую лекцию по лингвистике, то могу слушать часами - это абсолютно несравнимая нагрузка на голову. Физика требует тех же усилий, что и математика, но для меня это впустую, потому что я там ничего не понимаю. (Смеется.)"

О реальном мире:

(Скажите, математика как-то связана с реальным миром?)

"(Смеется.) Как-то у Эйнштейна спросили, существует ли физическая реальность. На что он ответил: «Существует ли тра-ля-ля, бум-бум-бум?» Реальный мир - это некое слово, которое нельзя раскрутить, так же, как
нельзя раскрутить слово «Бог». По той причине, что язык к этому не приспособлен. Мы произносим это слово, но оно на самом деле ничего не значит. Потому что у нас нет контекста, в который его можно включить. Если называешь какое-то понятие, оно должно быть включено в больший контекст. Если контекста нет, то им является реальный мир... Большего контекста нет. Поэтому это так же, как говорить про Бога. Нет другого контекста, на этом разговор кончается. Например, когда вы говорите «стол», это часть мебели, часть дома. У вас есть куда его включить. А если некуда, то и говорить нельзя. Есть иллюзия чего-то - слов и прочего, но смысла нет. В этом смысле математика есть часть чего-то. Это вещи слишком большие, чтобы о них можно было говорить. Гораздо больше, чем наш язык. Язык - это лишь часть. Кроме того, есть еще такое общее правило: если на вопрос можно дать короткий ответ, то его не стоило задавать. Простых ответов нет. Ответ на любой интересный вопрос будет очень длинный, сложный и непонятный."

О психологии и философии:

(Вы говорите о вещах, в которых вы вряд ли специалист. Например, вы сказали, что все, что психология говорит о человеке, - это белиберда и чушь...)

"Да, видите ли, я немножко преувеличиваю, но исторически это так. У психологии очень печальная история. Возьмем самую недавнюю ее часть. Фрейд - это было ничего, Фрейд нес всякую ахинею, это нормально. Но то, что ее все повторяли, производит странное впечатление. Поэтому это сообщество не вызывает доверия. Имеется масса ситуаций, когда психологи выступают в судах, говорят сутками и несут полный бред. Но это не значит, что в психологии ничего нет. Там, несомненно, имеются и существенные открытия, но общая психология - белиберда в том смысле, что она не раскрывает сущности нашего мышления, она перпендикулярна глубокой сущности."

(А вы когда-либо в жизни - в текстах или в личном общении - встречались с хорошим философом? Который не несет белиберду?)

"Разумеется. Классическая философия, вся греческая философия, Кант -это исключительно нетривиально!
Я никаких не имею возражений! Современная философия у меня вызывает возражения. Я не очень много знаю, но то, что я читал, было исключительно примитивным. Начиная уже с Бергсона. Он, несомненно, был человеком ярким, но то, что он пишет, уже ерунда какая-то. А уж дальше... Французская философия - это уже даже не философия, это спуд какой-то... Вообще-то в философии есть две тенденции - одна научная, другая - поэтическая. А потом как-то стало путаться. Например, Ницше как научный философ ничего не стоит, но как поэт он очень интересен. Тот же самый Бергсон, с одной стороны, по существу был личностью поэтической, но притворялся, что он научный. Когда начинают цитировать поэзию как науку - это абсурд. Или Деррида - когда он начинал, он был вполне разумным философом, но потом он вдруг понял, что чем большую ерунду он порет, тем большим успехом пользуется. И начинает нести все большую и большую ерунду..."

О курении:

(А вы могли бы описать не математическим образом, а нормальным языком путь к нетривиальной идее, к нетривиальной мысли?)

"Черт его знает... Я могу поделиться собственным опытом определенного рода, который выглядит весьма непросто. Я в своей жизни много раз бросал курить. Сейчас конкретно я не курю семь или восемь месяцев. И каждый раз, когда я бросаю курить (пятый раз уже бросаю), я некоторое время не могу заниматься математикой. Открываю, а передо мной просто стенка, ничего не могу сделать. Могу заниматься другими делами, изучать язык или еще что-нибудь, но что касается математики, то около года в голове нет ничего. И в это время я ничего нетривиального не могу произвести. Могу слушать, повторять, учить, но не генерировать."

(Генерация нетривиальных мыслей у вас связана с курением?)

"Через некоторое время это проходит, но ассоциируется оно достаточно сильно. Курение, надо сказать, исключительно помогает, по крайней мере, помогало мне. И когда после перерыва я начинал курить, на следующие полгода приходились самые продуктивные периоды. Но черт его знает, как это работает. И второе, что я могу сказать, уже на другую тему: вы изучаете математику и хотите нетривиально ее понять. Учите ее, учите и ничего не можете понять. Проходят годы, и люди встречаются. Одни как ничего не понимали, так ничего и не поняли, а другие вдруг все поняли. Они ничего не делали, но вдруг все, что они учили, стало для них ясно. Это происходит без всякого усилия, где-то внутри. Но у одних происходит, у других - нет.
Причем для этого требуются очень длительные интервалы времени, не дни - годы. Почему? Как? Непонятно."